MN為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的垂直于實(shí)軸的動(dòng)弦，P，Q為雙曲線C的項(xiàng)點(diǎn)，直線MQ與直線PN交于點(diǎn)F，直線NQ與直線PM交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法：
①存在a，b＞0及動(dòng)弦MN，使得P，E，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
②對(duì)任意a，b＞0，都存在動(dòng)弦MN，使得P，E，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
③存在a，b＞0及動(dòng)弦MN，使得P，E，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共橢圓，且PQ為橢圓的長(zhǎng)軸；
④存在a，b＞0及動(dòng)弦MN，使得P，E，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共橢圓，且PQ為橢圓的短軸．
其中正確的序號(hào)是
①③④
①③④
．
分析：根據(jù)題意設(shè)出M，N的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，表示出直線MQ和直線NP，根據(jù)直線MQ與直線PN交于點(diǎn)F，直線NQ與直線PM交于點(diǎn)E，確定出點(diǎn)E，F(xiàn)的軌跡方程，即可判斷各選項(xiàng)的正誤，從而得到答案．
解答：解：∵M(jìn)N為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的垂直于實(shí)軸的動(dòng)弦，
∴設(shè)M（x0，y0），N（x0，-y0），F(xiàn)（x，y），
∵P，Q為雙曲線C的項(xiàng)點(diǎn)，
∵P（-a，0），Q（a，0），
∴直線lMQ：y=
y0
x0-a
(x-a)，直線lNP：y=
-y0
x0+a
(x+a)，
上述兩式相乘得，y2=
-y02
x02-a2
(x2-a2)，
將
x02
a2
-
y02
b2
=1代入上式，消元化簡(jiǎn)得，C′：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)，
∴點(diǎn)E，F(xiàn)的軌跡方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)，
當(dāng)a=b時(shí)，上式表示圓的方程，
當(dāng)a≠b時(shí)，上式表示橢圓，且PQ為長(zhǎng)軸還是短軸取決于a，b的大小，
綜上所述，可知選項(xiàng)①③④正確．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的共同特征，涉及了求點(diǎn)的軌跡方程的求解，屬于圓錐曲線中的探索性問(wèn)題，有一定的能力要求．屬于難題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知以原點(diǎn)O為中心，F(
5
，0)為右焦點(diǎn)的雙曲線C的離心率e=
5
2
．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；
（2）如圖，已知過(guò)點(diǎn)M（x1，y1）的直線l1：x1x+4y1y=4與過(guò)點(diǎn)N（x2，y2）（其中x2≠x）的直線l2：x2x+4y2y=4的交點(diǎn)E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點(diǎn)，求△OGH的面積．精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱(chēng)△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知，橢圓C以雙曲線x2-
y23
=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)（M、N不是左右頂點(diǎn)），且以線段MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A（2，0），求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)雙曲線C：x2-
y2
m2
=1的右頂點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1、k2的直線AM、AN交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，其k1、k2滿足關(guān)系式k1•k2=-m2且k1+k2≠0，k1＞k2
（1）求直線MN的斜率；
（2）當(dāng)m2=2+
3
時(shí)，若∠MAN=60°，求直線MA、NA的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：武漢模擬 題型：解答題

過(guò)雙曲線C：x2-
y2
m2
=1的右頂點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1、k2的直線AM、AN交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，其k1、k2滿足關(guān)系式k1•k2=-m2且k1+k2≠0，k1＞k2
（1）求直線MN的斜率；
（2）當(dāng)m2=2+
3
時(shí)，若∠MAN=60°，求直線MA、NA的方程．

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