Question

已知函數y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱，且滿足f（x）=-f（x-1）．當x∈（-2，-1）時，，則當x∈（1，2）時，f（x）=________．

Answer 1

分析：首先，由f（x）=-f（x-1）證出：函數f（x）是周期為2的周期函數．再根據當x∈（-2，-1）時函數的解析式，結合函數y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱，求出當-1＜x＜0時函數的解析式，最后由此解析式，結合函數的周期為2，可得當x∈（1，2）時f（x）的解析式．
解答：∵f（x）=-f（x-1），
∴以x+1代替x，得f（x+1）=-f（x）
再結合f（x）=-f（x-1），可得f（x+1）=-[-f（x-1）]=f（x-1）
即f[（x-1）+2]=f（x-1），由此可得f（x+2）=f（x），函數是周期為2的周期函數
∵函數y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱，
∴f（-2-x）+f（x）=0，可得f（x）=-f（-2-x）
設-1＜x＜0，得-2＜-2-x＜-1，則f（-2-x）==-，所以f（x）=-f（-2-x）=
再設x∈（1，2），則-1＜x-2＜0，f（x-2）=
最后，根據f（x）是周期為2的周期函數，可得f（x）=f（x-2）=
∴當x∈（1，2）時，f（x）=
故答案為：
點評：本題以一個特殊的函數為例，考查了函數的周期性、圖象的對稱性和函數解析式求法等知識點，屬于中檔題．