Question

在半徑為R的球內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，這個圓柱的底面半徑和高為何值時，它的側面積最大？并求此最大值．

Answer 1

【答案】分析：設內(nèi)接圓柱的高為h，圓柱的底面半徑為r，通過h²+4r²=4R²，利用基本不等式推出rh≤R²，求出S_側=2πrh≤2πR²，得到結果．
解答：解  如圖，設內(nèi)接圓柱的高為h，圓柱的底面半徑為r，則h²+4r²=4R²
因為h²+4r²≥4rh，當且僅當h=2r時取等．所以4R²≥4rh，即rh≤R²
所以，S_側=2πrh≤2πR²，當且僅當h=2r時取等．
又因為h²+4r²=4R²，所以，時取等
綜上，當內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為時，它的側面積最大，為2πR²
點評：本題是中檔題，考查球的內(nèi)接幾何體的表面積的最值的求法，基本不等式的應用是解題的關鍵，考查計算能力．