Question

已知數(shù)列{a_n}滿足 a₁=2，a₂=8，a_n+2=4a_n+1-4a_n．
（1）證明{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列；
（2）證明是等差數(shù)列；
（3）設S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，求S的值．

Answer 1

解：（1）∵a_n+2=4a_n+1-4a_n∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
即，又 a₂-2a₁=4
∴數(shù)列{a_n+1-2a_n}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，a_n+1-2a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴，又 ，
∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即正整數(shù)列．
（3）∵，∴a_n=n•2ⁿ，又 S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，
∴S=2+2•2²+3•2³+…+2010•2²⁰¹⁰①2S=2²+2•2³+3•2⁴+…+2010•2²⁰¹¹②
①-②得-S=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁰-2010•2²⁰¹¹=2²⁰¹¹-2-2010•2²⁰¹¹
∴S=2009•2¹⁰¹¹+2．
分析：（1）由a_n+2=4a_n+1-4a_n可得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即可證．
（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項可知，a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，則，結合等差數(shù)列的定義可知是等差數(shù)列
（3）由，可得a_n=n•2ⁿ，考慮利用錯位相減求和．
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造特殊數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列），及等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式的求解，錯位相減求解數(shù)列的和的方法的應用．