Question

已知函數(shù)f（x）=mx³-（2+）x²+4x+1，g（x）=mx+5
（Ⅰ）當m≥4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在m＜0，使得對任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．由于參數(shù)m決定了與1的大小關系，從而決定導數(shù)的正負，因此必須進行分類討論，通過比較與1的大小，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）先假設存在，將對任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1轉化為f（x）_max-f（x）_min≤1，從而得到關于m的不等式，求出m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴f′（x）=mx²-（4+m）x+4=（mx-4）（x-1）
1）若m＞4，則，此時都有，
有f′（x）＜0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和[[1，+∞）；
2）若m=4，則f′（x）=4（x-1）²≥0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（Ⅱ）當m＜0時，且
∴當2≤x≤3時，都有f′（x）＜0
∴此時f（x）在[2，3]上單調(diào)遞減，∴
又g（x）=mx+5在[2，3]上單調(diào)遞減，∴g（x）_min=g（3）=3m+5
∴，解得，又m＜0，
所以
點評：利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，關鍵是解不等式，因此要研究不等式所對應的方程根的大小，同時應注意對參數(shù)的討論；研究是否存在問題，通常先假設存在，轉化為封閉性問題，對于任意性的恒成立問題，一般應利用到函數(shù)的最值，而最值的確定又通常利用導數(shù)的方法解決．