Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)。當(dāng)橋上的的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當(dāng)時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的表達式；

（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的表達式為=；（Ⅱ）當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

【解析】

試題分析：(1)由車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，可得時，；又時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)，設(shè)，利用時及時可求出，據(jù)此可求表達式．（2）是關(guān)于的分段函數(shù)，求出每段的最大值，再比較可得的最大值．

試題解析：（Ⅰ）由題意：當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)

，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得

故函數(shù)的表達式為=

（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得

當(dāng)時，為增函數(shù)，故當(dāng)時，其最大值為；

當(dāng)時，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．

所以，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值．

綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值，

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

考點：1．函數(shù)的實際應(yīng)用；2．函數(shù)的最值求法；3．均值不等式．