Question

（2013•山東）定義“正數(shù)對(duì)”：ln⁺x=

0，  0＜x＜1 lnx，    x≥1

，現(xiàn)有四個(gè)命題：
①若a＞0，b＞0，則ln⁺（a^b）=bln⁺a；
②若a＞0，b＞0，則ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b；
③若a＞0，b＞0，則ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b；
④若a＞0，b＞0，則ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+2．
其中的真命題有

①③④

（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：由題意，根據(jù)所給的定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷，由于在不同的定義域中函數(shù)的解析式不一樣，故需要對(duì)a，b分類討論，判斷出每個(gè)命題的真假

解答：解：對(duì)于①，由定義，當(dāng)a≥1時(shí)，a^b≥1，故ln⁺（a^b）=ln（a^b）=blna，又bln⁺a=blna，故有l(wèi)n⁺（a^b）=bln⁺a；
當(dāng)a＜1時(shí)，a^b＜1，故ln⁺（a^b）=0，又a＜1時(shí)bln⁺a=0，所以此時(shí)亦有l(wèi)n⁺（a^b）=bln⁺a．由上判斷知①正確；
對(duì)于②，此命題不成立，可令a=2，b=

1

3

，則ab=

2

3

，由定義ln⁺（ab）=0，ln⁺a+ln⁺b=ln2，所以ln⁺（ab）≠ln⁺a+ln⁺b；由此知②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)a≥b＞0時(shí)，

a

b

≥1，此時(shí)ln+(

a

b

)=ln (

a

b

)≥0，當(dāng)a≥b≥1時(shí)，ln⁺a-ln⁺b=lna-lnb=ln(

a

b

)，此時(shí)命題成立；當(dāng)a＞1＞b時(shí)，ln⁺a-ln⁺b=lna，此時(shí)

a

b

＞a，故命題成立；同理可驗(yàn)證當(dāng)1＞a≥b＞0時(shí)，ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b成立；當(dāng)

a

b

＜1時(shí)，同理可驗(yàn)證是正確的，故③正確；
對(duì)于④，可分a≤1，b≤1與兩者中僅有一個(gè)小于等于1、兩者都大于1三類討論，依據(jù)定義判斷出④是正確的
故答案為①③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，理解定義所給的運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵，本題考查了分類討論的思想，邏輯判斷的能力，綜合性較強(qiáng)，探究性強(qiáng)．易因?yàn)槔斫獠磺宥�義及忘記分類討論的方法解題導(dǎo)致無(wú)法入手致錯(cuò)