Question

9．已知點H在圓D：（x-2）²+（y+3）²=32上運(yùn)動，點P坐標(biāo)為（-6，3），線段PH中點為M．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）若直線y=kx與M的軌跡交于B、C兩點，點N（0，t）使NB⊥NC，求實數(shù)t的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求點M的軌跡方程；
（2）利用韋達(dá)定理及向量垂直的結(jié)論，即可求t的范圍．

解答 解：（1）設(shè)點M（x，y），則H（2x+6，2y-3），
又H在圓上，得（2x+6-2）²+（2y-3+3）²=32，化簡得（x+2）²+y²=8；
（2）由直線y=kx與（x+2）²+y²=8，消去y得（1+k²）x²+4x-4=0，
∴x₁+x₂=x₁x₂=-$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，
又 0=$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CN}$=（1+k²）x₁x₂-kt（x₁+x₂）+t²，
∴$\frac{4-{t}^{2}}{4t}$=$\frac{k}{1+{k}^{2}}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴t$∈[-\sqrt{5}-1，-\sqrt{5}+1]∪[\sqrt{5}-1，\sqrt{5}+1]$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．