Question

（2012•安徽模擬）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F₂的最短距離為

3

-

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，線段MN垂直平分線恒過(guò)點(diǎn)A（0，-1），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（x，y）到焦點(diǎn)F₂的距離d_min=a-c，利用條件即幾何量的關(guān)系，即可求得橢圓的方程；
（2）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，根據(jù)直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，可得m²＜3k²+1①，根據(jù)線段MN垂直平分線恒過(guò)點(diǎn)A（0，-1），可得2m=3k²+1（k≠0）②，由①②，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（x，y）到焦點(diǎn)F₂的距離為d
∴d2=(x-c)2+y2=

c2

a2

(x-

a2

c

)2(-a≤x≤a)
∵

a2

c

＞a
∴x=a時(shí)，d_min=a-c
∴

a-c= 3 - 2 a2-c2=1

，∴

a= 3 c= 2

，∴b=1
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0
∵直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，
∴△＞0，∴m²＜3k²+1①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-

6mk

3k2+1

∴MN的中點(diǎn)為B（-

3mk

3k2+1

，

m

3k2+1

）．
∵線段MN垂直平分線恒過(guò)點(diǎn)A（0，-1），
∴AQ⊥MN
∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

∴2m=3k²+1（k≠0）②
由①②得m²＜2m，∴0＜m＜2
由②得m＞

1

2

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

1

2

，2)．

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組是關(guān)鍵．