Question

設(shè)S_n是正項數(shù)列{a_n}的前n項和，．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）已知，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)n≥2時，利用遞推公式4a_n=4（S_n-S_n-1）=可得a_n-a_n-1=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項可求
（II）由題意可得，，則，利用錯位相減可求和
解答：解：（I）當(dāng)n=1時，
又a_n＞0解得a₁=3．
當(dāng)n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=．
∴4a_n=，…（3分）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．       …（6分）
（II）∵，a_n=2n+1
∴
∴．①
又因為2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）×2ⁿ⁺¹②…（8分）
②-①可得，+（2n+1）×2ⁿ⁺¹     …（10分）
=-6+8-2×2ⁿ⁺¹+（2n+1）•2ⁿ⁺¹…（11分）
=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
所以 ．  …（13分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，此類問題一般需要對n=1進行檢驗；而數(shù)列{a_nb_n}中，a_n，b_n分別為等差數(shù)列、等比數(shù)列，對其求和時利用錯位相減