Question

已知函數(shù) f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．若對任意的實數(shù)x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A、0＜k≤3
• B、1≤k≤4
• C、-

  1

  2

  ≤k≤3
• D、-

  1

  2

  ≤k≤4

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)分?jǐn)?shù)函數(shù)的特點，將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，并分析出函數(shù)的值域，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，求出各種情況下實數(shù)k的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=

2x+2-x+k

2x+2-x+1

，
令2^x+2^-x=t，則t≥2，
則函數(shù)等價為g（t）=

t+k

t+1

=1+

k-1

t+1

，（t≥2），
則原題等價為對于t≥2，
[2g（t）]_min≥[g（t）]_max恒成立，
①當(dāng)k=1時，顯然成立；
②當(dāng)k＜1時，

k+2

3

≤f(t)＜1，
由2（

k+2

3

）≥1，得-

1

2

≤k＜1；
③當(dāng)k＞1時，1＜f（t）≤

k+2

3

，
由2×1≥

k+2

3

，得1＜k≤4，
綜上；實數(shù)k的取值范圍是[-

1

2

，4]．
故選：D．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中利用換元思想及基本不等式將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵．