Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點（P、A、B三點互不相同）且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且
λ≠-1），
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；
（Ⅲ）當λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）解：由拋物線C的方程，得焦點坐標為，準線方程為；
（Ⅱ）證明：設直線PA的方程為，
直線PB的方程為，
點的坐標是方程組的解，
將②式代入①式得=0，
于是，③
又點的坐標是方程組的解，
將⑤式代入④式得，
由已知得，， ⑥
設點M的坐標為，
由，
將③式和⑥式代入上式得，即，
所以線段PM的中點在y軸上。
（Ⅲ）解：因為點P（1，-1）在拋物線上，所以a=-1，
拋物線的方程為，
由③式知，
將λ=1代入⑥式得，
因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為
，
于是，
，
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，
故必有，
求得k₁的取值范圍為，
又點A的縱坐標y₁滿足，
故當；當；
所以∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍為。