Question

19．函數f（x）的定義域為D，若x₁，x₂∈D且當f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單值函數．例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單值函數，給出下列命題：
①反比例函數$f（x）=\frac{1}{x}$（x∈R，x≠0）是單值函數；
②二次函數f（x）=x²（x∈R）是單值函數；
③在定義域D上單調遞增或遞減的函數一定是單值函數．
以上命題中的真命題有①③（寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

分析 在①中，當f（x₁）=f（x₂）時，$\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{2}}$，從而x₁=x₂；在②中，當f（x₁）=f（x₂）時，${{x}_{1}}^{2}={{x}_{2}}^{2}$，從而x₁=±x₂；在③中，由單值函數的定義知在定義域D上單調遞增或遞減的函數一定是單值函數．

解答 解：在①中，$f（x）=\frac{1}{x}$（x∈R，x≠0），
當f（x₁）=f（x₂）時，$\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{2}}$，∴x₁=x₂，故①是單值函數；
在②中，f（x）=x²（x∈R），
當f（x₁）=f（x₂）時，${{x}_{1}}^{2}={{x}_{2}}^{2}$，∴x₁=±x₂，故②不是單值函數；
在③中，由單值函數的定義知在定義域D上單調遞增或遞減的函數一定是單值函數，故③正確．
故答案為：①③．

點評 本題考查單值函數的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．