Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)為a₁，公比q≠1的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為：S_n=

a1(1-qn)

1-q

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可．

解答： （本小題滿分10分）
證明   （1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=S₁=a₁，右邊=

a1(1-q1)

1-q

=a₁，等式成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，等式成立，即Sk=

a1(1-qk)

1-q

成立．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+a_k+1
=

a1(1-qk)

1-q

+a1qk
=

a1-a1qk+a1qk-a1qk+1

1-q

=

a1(1-qk+1)

1-q

即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任意的正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．