Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-3
（1）當a=2，x∈[-2，3]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=2時，先將二次函數(shù)進行配方，然后求出對稱軸，結合函數(shù)的圖象可求出函數(shù)的值域．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質可知二次項的系數(shù)為正數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-3的對稱軸是：x=-a．進行分類討論：當=-a＞1時，當=-a＞1時，分別函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值，再根據(jù)最值在定點處取得建立等式關系，解之即可．
解答：解：（1）當a=2時，f（x）=x²+3x-3
=（x+）²-，對稱軸為x=-＜3，
∴函數(shù)在[-2，-]上單調遞減函數(shù)，在[-，3]上單調遞增函數(shù)，
∴f（）≤y≤f（3）
f（3）=15，f（）=-
∴該函數(shù)的值域為：[，15]．
（2）函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-3的對稱軸是：x=-a．
當-a＞1時，函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為f（-1）=-2a-1=1
∴a=-1；
當-a≤1時，函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為f（3）=6a+3=1
∴a=-；
∴實數(shù)a的值a=-．或a=-1．
點評：本題主要考查了函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的圖象等有關基礎知識，考查計算能力，數(shù)形結合的思想，屬于基礎題．