Question

1．如圖，A₁，A₂為橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的長軸的左、右端點，O為坐標原點，S，Q，T為橢圓上不同于A₁，A₂的三點，直線QA₁，QA₂，OS，OT圍成一個平行四邊形OPQR，則|OS|²+|OT|²=14．

Answer 1

分析 解法一：當Q選在短軸的端點上，取Q（0，$\sqrt{5}$），由于A₁（-3，0），A₂（3，0）根據直線的斜率公式代入橢圓方程，即可求得T點坐標，則|OS|²+|OT|²=7+7=14；
解法二：設直線OS，OT的方程分別為：y=k₁x，y=k₂x，代入橢圓方程求得x₁²=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$，y₁²=$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$，x₂²=$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$，y₂²=$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$，由k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$\frac{5}{9}$，根據兩點之間的距離公式即可求得|OS|²+|OT|²的值．

解答 解法一：題目為選擇題，可采用特殊點法進行快速計算，
由橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$焦點在x軸上，
當Q選在短軸的端點上，取Q（0，$\sqrt{5}$），
由于A₁（-3，0），A₂（3，0）
則QA₁斜率為k=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
即直線OT為y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{5}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=±\frac{3}{\sqrt{2}}}\\{y=±\sqrt{\frac{5}{2}}}\end{array}\right.$，可得T點橫縱坐標（$\frac{3}{\sqrt{2}}$，$\sqrt{\frac{5}{2}}$）
則由對稱可知OS=OT=$\sqrt{\frac{9}{2}}+\frac{5}{2}$=$\sqrt{7}$，
則|OS|²+|OT|²=7+7=14，
故答案為：14．
解法二：設Q（x₀，y₀），S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
則$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}+\frac{{y}_{0}^{2}}{5}=1$，y₀²=$\frac{5}{9}$（9-x₀²），
設直線OS，OT的方程分別為：y=k₁x，y=k₂x，
則${k}_{{A}_{2}Q}$=k₁，${k}_{{A}_{1}Q}$=k₂．
由k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$\frac{5}{9}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，解得：x₁²=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$，y₁²=$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$，
同理可知：x₂²=$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$，y₂²=$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$，
由兩點之間的距離公式可知：|OS|²+|OT|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=$\frac{45（1+{k}_{1}^{2}）}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45（1+\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}）}{5+9×\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{70+126{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$=14，
故答案為：14．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，直線的斜率公式，直線與橢圓相交弦長問題、平行四邊形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．