已知函數(shù)f(x)=
1
4
x4+
1
3
ax3-a2x2+a4(a＞0)
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=1恰有兩個交點，求a的取值范圍．
分析：（1）對函數(shù)f（x）求導，根據(jù)導數(shù)大于0時原函數(shù)單調增，導數(shù)小于0時原函數(shù)單調減可得到答案．
（2）求出函數(shù)的極值點，根據(jù)圖象可得答案．
解答：解：（1）因為f'（x）=x3+ax2-2a2x=x（x+2a）（x-a）
令f'（x）=0得x1=-2a，x2=0，x3=a
由a＞0時，f'（x）在f'（x）=0根的左右的符號如下表所示
精英家教網(wǎng)
所以f（x）的遞增區(qū)間為（-2a，0）與（a，+∞）f（x）的遞減區(qū)間為（-∞，-2a）與（0，a）
（2）由（1）得到f(x)極小值=f(-2a)=-
5
3
a4，f(x)極小值=f(a)=
7
12
a4
f（x）極大值=f（0）=a4
要使f（x）的圖象與直線y=1恰有兩個交點，如圖示
精英家教網(wǎng)或精英家教網(wǎng)
故只要-
5
3
a4＜1＜
7
12
a4或a4＜1，
即a＞
4
12
7
或0＜a＜1．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調性與其導函數(shù)正負之間的關系，即當導數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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