Question

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-

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與x=1時(shí)都取得極值
（1）求a，b的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若對(duì)x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

（1）求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=3x²+2ax+b
∵在x=-

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與x=1時(shí)，函數(shù)取得極值
∴

f/(- 1 3 )= 1 3 - 2a 3 +b=0  f/(1)=3+2a+b=0

?

a=-1 b=-1

∴f（x）=x³-x²-x+c，其導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x-1
當(dāng)x＜-

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或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
而當(dāng)-

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＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-

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）和（1，+∞）；減區(qū)間為（-

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，1）
（2）∵對(duì)x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值小于右邊c²
根據(jù)（1）的單調(diào)性，可得f（x）的最大值是f（-

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）、f（2）中的較大值
∵f（-

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）=

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+c＜f（2）=2+c
∴f（x）的最大值是2+c
因此2+c＜c²恒成立，解之得c＜-1或c＞2
∴c的取值范圍為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．