Question

某校舉行中學(xué)生“日常生活小常識”知識比賽，比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進行；每位選手最多有5次答題機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止比賽，答對3題者直接進入復(fù)賽，答錯3題者則被淘汰．已知選手甲答對每個題的概率均為

2

3

，且相互間沒有影響．
（Ⅰ）求選手甲進入復(fù)賽的概率；
（Ⅱ）設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)為X，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由于答對3題者直接進入決賽，故可分為三類：一類是三題全對；一類是答4題，前3題錯一題，第4題答對；一類是答5題，前4題錯兩題，第5題答對，故可求求選手甲可進入決賽的概率；
（Ⅱ）依題意，X的可能取值為3，4，5．利用獨立重復(fù)試驗的概率公式分別求出相應(yīng)的概率，從而得出X的分布列，進而可求數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)選手甲任答一題，正確的概率為P，則P=

2

3

，
記選手甲進入復(fù)賽為事件A，則甲選答3道題目后進入復(fù)賽的概率為(

2

3

)3=

8

27

，
或選手甲答了4個題，前3個2對1錯，第4次對進入復(fù)賽，∴

C

2 3

(

2

3

)2

1

3

2

3

=

8

27

，----（4分）
或選手甲答了5個題，前4個2對2錯，第5次對進入復(fù)賽，∴

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2

2

3

=

16

81

----（6分）
∴選手甲進入復(fù)賽的概率P(A)=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

----（7分）
（Ⅱ）由題意知，X可取3，4，5，則
P（X=3）=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

；P（X=4）=

C

2 3

(

2

3

)3•

1

3

•

2

3

+

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

；
P（X=5）=

C

2 4

•(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

4

+

C

2 4

•(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，
X的分布列

X	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴EX=

107

27

----（13分）

點評：本題的考點是離散型隨機變量的期望與方差，主要考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查獨立重復(fù)試驗的概率公式．