Question

函數(shù)f(x)=x+

a

x

（a為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)（2，0），
（Ⅰ）求a的值并判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區(qū)間[2，3]上有意義，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)（2，0），代入即可求a的值并根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值恒成立即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=x+

a

x

（a為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)（2，0），
∴0=2+

a

2

⇒a=-4，
此時(shí)f(x)=x-

4

x

，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，
由f（-x）=-f（x），
即f(x)=x-

4

x

為奇函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區(qū)間[2，3]上有意義，
即x-

4

x

+2x-m＞0對(duì)x∈[2，3]恒成立，
得(x-

4

x

+2x)min＞m，
令h(x)=x-

4

x

+2x，x∈[2，3]先證其單調(diào)遞增：
任取2≤x₁＜x₂≤3，
則h(x2)-h(x1)=x2-

4

x2

+2x2-(x1-

4

x1

+2x1)=

(x2-x1)(x1x2+4)

x1x2

+(2x2-2x1)
∵2≤x₁＜x₂≤3，
∴h（x₂）-h（x₁）＞0，
故h（x）在x∈[2，3]遞增，
則(x-

4

x

+2x)min=h(2)=4，得m＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的定義和判斷，結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)將恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．