若橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短軸的一個端點與左右焦點、組成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作直線與橢圓交于、兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.
(1) (2)且

試題分析：(1)設(shè)橢圓的方程為 
由所以，橢圓的方程為 ……1…5 分
(2)、，
當(dāng)直線的斜率不存在時，的中點為，直線的斜率；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，直線的方程為：，……2
由12聯(lián)立消去并整理得：
設(shè)，則       ……10分
當(dāng)時，的中點為坐標(biāo)原點，直線的斜率；      ……11 分
當(dāng)時，，
且 ……13 分
點評：直線與橢圓相交的問題常聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解，在求解過程中要注意分直線斜率是否存在兩種情況分別討論，再應(yīng)用均值不等式求得斜率最值
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

方程表示曲線，給出以下命題：
①曲線不可能為圓；
②若，則曲線為橢圓；
③若曲線為雙曲線，則或；
④若曲線為焦點在軸上的橢圓，則.
其中真命題的序號是_____(寫出所有正確命題的序號)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過橢圓的一個焦點的直線與橢圓交于、兩點，則、 與橢圓的另一焦點構(gòu)成，那么的周長是          

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正三角形AOB的頂點A,B在拋物線上，O為坐標(biāo)原點，則（     ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線的左右焦點為，P為雙曲線右支上
的任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率的取值范圍是        。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線方程是              ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點.

（1）若，求點A的坐標(biāo)；
（2）若直線的傾斜角為，求線段AB的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，點在拋物線對稱軸上，過可作直線交拋物線于點、，使得，則的取值范圍是      ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì)：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線，在拋物線上任意畫一個點，度量點的坐標(biāo)，如圖．

（Ⅰ）拖動點，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，，試求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點、，構(gòu)造直線、分別交準(zhǔn)線于、兩點，構(gòu)造直線、．經(jīng)觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動點，恒有.請你證明這一結(jié)論．
（Ⅲ）為進(jìn)一步研究該拋物線的性質(zhì)，某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點”改變?yōu)槠渌岸c”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“與不再平行”．是否可以適當(dāng)更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請寫出相應(yīng)的正確命題；否則，說明理由．

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