已知矩陣A=
4-2
11
，向量α=
4
3
．
（1）求A的特征值λ1，λ2和特征向量α1，α2；
（2）計算A4α．
分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式 f(λ)=
.
λ-4-2
1λ-1
.
，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（2）利用特征向量的性質(zhì)計算，先利用特征向量表示向量
α
，后將求 A4α的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關特征向量的計算問題．
解答：解：（1）矩陣A的特征多項式為 f(λ)=
.
λ-4-2
1λ-1
.
=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
當λ1=2時，得
α1
=
2
1
，當λ2=3時，得
α2
=
1
1
．（7分）
（2）由
α
=m
α1
+n
α2
得
m+2n=4
m+n=3
，得m=2，n=1．
∴A4α=2λ
 
4
1
α 1+λ 
 
4
2
α 2=
194
113
．（15分）
點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算以及利用特征向量求向量乘方的問題，屬于向量中的基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，其對應的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，計算A2β的值．

（2）．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，點F1，F(xiàn)2為其左、右焦點，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)，t∈R）．求點F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知矩陣A=
21
-40
，B=
43
-70
，C=
1-20
-234
，計算：（1）A+B （2）B-2A （3）AB  （4）AC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
21
-13
將直線l：x+y-1=0變換成直線l′．
（1）求直線l′的方程；
（2）判斷矩陣A是否可逆．若可逆，求出矩陣A的逆矩陣A-1；若不可逆，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4：矩陣與變換
已知矩陣A=
.
1a
-1b
.
，A的一個特征值λ=2，其對應的特征向量是α1=
.
2
1
.
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）求直線y=2x在矩陣M所對應的線性變換下的像的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知矩陣A=
21
-40
，B=
43
-70
，C=
1-20
-234
，計算：（1）A+B （2）B-2A （3）AB  （4）AC．

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