Question

12．經(jīng)過(guò)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)F₂作的直線．與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．|AB|=3．求直線AB的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求得a、b的值，根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線右支相交，②AB與雙曲線的兩支都相交，可得符合條件的直線方程，綜合可得答案．

解答 解：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1中，則a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2；
若AB只與雙曲線右支相交時(shí)，|AB|的最小距離是通徑，長(zhǎng)度為$\frac{2^{2}}{a}$=6，不符合條件；
若AB與雙曲線的兩支都相交時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直線AB的方程為：y=k（x-2），|k|$＜\sqrt{3}$代入雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1后整理得：（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{\sqrt{36{k}^{2}+36}}{3-{k}^{2}}$=$\frac{6（1{+k}^{2}）}{3-{k}^{2}}$=3．
解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故直線AB的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）或y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的關(guān)系，解題時(shí)可以結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，分析直線與雙曲線的相交的情況，從而求解；