Question

已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)，g(x)=loga(1-x)（其中a＞1）
（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）-g（x）的奇偶性，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意得：x+1＞0，1-x＞0，可求函數(shù)的定義域
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=lo

g

(x+1) a

-lo

g

(1-x) a

=lo

g

x+1 1-x a

（-1＜x＜1），只要檢驗(yàn)F（-x）與F（x）的關(guān)系即可判斷

解答：解：（1）由題意得：x+1＞0，1-x＞0．（2分）
解得：-1＜x＜1     …．（3分）
∴所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}    …（4分）
（2）是奇函數(shù)…（5分）（或者在題的最后寫這個(gè)結(jié)論也給分）
證明：x+1＞01-x＞0解得：-1＜x＜1              …．（7分）
令F(x)=f(x)-g(x)=lo

g

(x+1) a

-lo

g

(1-x) a

=lo

g

x+1 1-x a

  （-1＜x＜1）
F(-x)=f(-x)-g(-x)=lo

g

(1-x) a

-lo

g

(1+x) a

=lo

g

1-x 1+x a

=log(

x+1

1-x

)-1=-lo

g

x+1 1-x a

=-F(x)        …（9分）
∴該函數(shù)為奇函數(shù)．        …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求解，函數(shù)的奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念與基本方法