Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）an+1=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

=an+

2

3

，所以a_n+1-a_n=

2

3

，由此能求出a_n=

2

3

n+

1

3

．
（2）b_n=

1

anan+1

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），
∴an+1=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

=an+

2

3

，
∴a_n+1-a_n=

2

3

，
∴數(shù)列{a_n}是以

2

3

為公差，首項(xiàng)a₁=1的等差數(shù)列，
∴a_n=

2

3

n+

1

3

．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n+1)

=

9

(2n+1)(2n+3)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴T_n=

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

3

2

-

9

4n+6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．