Question

如圖，多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，，G為AD的中點．
（1）求證；AC⊥CE；
（2）在線段CE上找一點F，使得BF∥平面ACD，并給予證明；
（3）求三棱錐V_G-BCE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得出DE⊥AC；根據(jù)勾股定理的逆定理可得AC⊥CD，利用線面垂直的判定定理可得AC⊥平面CDE，
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得AB∥ED，設(shè)F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，利用三角形的中位線定理可得，又，于是可得四邊形ABFH為平行四邊形，可得BF∥AH，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（3）作CP⊥AD垂足為P，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得CP⊥平面ABED，再利用，即可得出體積．
解答：（1）證明：∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥AC，
，∴AD²=AC²+CD²，∴AC⊥CD．
∴CD∩DE=D，∴AC⊥平面CDE．
∴AC⊥CE．
（2）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
設(shè)F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，
連接FH，則，∴，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內(nèi)，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（3）由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，
在平面ACD內(nèi)作CP⊥AD垂足為P，
∵平面ABED∩平面ACD=AD，∴CP⊥平面ABED，CP為三棱錐V_C-BGE的高．
由，
∵=，，．
∴，
∵．
∴三棱錐V_G-BCE的體積．
點評：熟練掌握線面垂直的判定和性質(zhì)定理、勾股定理的逆定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式和“等積變形”是解題的關(guān)鍵．