Question

17．如圖，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥平面PBC；    
（2）求三棱錐C-AED的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PA⊥BC，BC⊥AB，從而BC⊥面PAB，進(jìn)而BC⊥AE，再由AE⊥PB，能證明AE⊥平面PBC．
（2）在面PAB內(nèi)過E做EH∥PA，交AB于H，由V_C-AED=V_E-ACD，能求出三棱錐C-AED的體積．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC?面ABCD，
∴PA⊥BC，
又∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB，
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
又AB=PA=1，E是PB的中點(diǎn)．∴AE⊥PB，
∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．
解：（2）在面PAB內(nèi)過E做EH∥PA，交AB于H，
∵PA⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，
∴三棱錐C-AED的體積${V_{C-AED}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•EH=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．