Question

函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)．導(dǎo)函數(shù)f^′（x）是減函數(shù)，且f^′（x）＞0，x₀∈（0，+∞）．g（x）=kx+m是y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程．
（1）用x₀，f（x₀），f^′（x₀）表示m；
（2）證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）≥f（x）；
（3）若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥

3

2

x

2

3

在（0，+∞）上恒成立，其中a，b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a，b所滿足的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）先利用點(diǎn)斜式表示出切線方程，然后根據(jù)切線方程與y=kx+m是同一直線建立等式關(guān)系，求出m即可；
（2）比較g（x）與f（x）的大小可利用作差比較，構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，即可證得結(jié)論．
（3）把a(bǔ)x移到兩邊，再求最值，即可得出b的取值范圍及a，b所滿足的關(guān)系

解答：解：（1）y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）
∴m=f（x₀）-x₀f'（x₀）．
（2）證明：令h（x）=g（x）-f（x），則h'（x）=f'（x₀）-f'（x），h'（x₀）=0．
因?yàn)閒'（x）遞減，所以h'（x）遞增，因此，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h'（x）＞0；
當(dāng)x＜x₀時(shí)，h'（x）＜0．所以x₀是h（x）唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，
可知h（x）的最小值為0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．
（3）把a(bǔ)x移到兩邊得x2+1-ax≥b≥

3

2

x

2

3

-ax
令y₁=x²+1-ax，y2=

3

2

x

2

3

-ax則

y

/ 2

=x-

1

3

-a
①

a

2

＜0時(shí)，（y₁）_min=1，（y₂）_max=0，∴1≥b≥0
②

a

2

≥0時(shí)，(y1) min=1-

a2

4

，(y2) max=

1

2a2

，
∴1-

a2

4

≥b≥

1

2a2

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．