Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-2cos²x+3．求：
①函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)x值的集合；
②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
③滿足f（x）＞3的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①運(yùn)用二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數(shù)的最值，即可得到；
②運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到所求區(qū)間；
③運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解不等式即可得到所求集合．

解答： 解：①f（x）=sin2x-2cos²x+3=sin2x-（1+cos2x）+3
=

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）+2=

2

sin（2x-

π

4

）+2，
當(dāng)2x-

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z）即x=kπ+

3π

8

時(shí)，f（x）取得最大值2+

2

，
x的取值集合為{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z}；
②令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
則有函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z；
③f（x）＞3即sin（2x-

π

4

）＞

2

2

，
即有2kπ+

π

4

＜2x-

π

4

＜2kπ+

3π

4

，k∈Z，
解得kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，
所求x的集合為{x|kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式和兩角差的正弦公式的運(yùn)用，主要考查正弦函數(shù)的值域、單調(diào)性和最值，屬于中檔題．