Question

求函數(shù)y=sin2x-2sinx+2cosx的最大值和最小值，并指出當x取何值時，函數(shù)取得最值．

Answer 1

解：設，…（2分）
則t，
sin2x=2sinxcosx=1-t²．…（6分）
∴y=sin2x-2sinx+2cosx
=1-t²-2t
=-（t+1）²+2．…（8分）
∴當t=時，即x=2k，k∈Z時，y取得最小值為；…（11分）
當t=1時，即x=2kπ或2kπ時，y取得最大值為2．…（14分）
分析：利用換元法t=sinx-cosx，求出t的范圍，通過二倍角求出sin2x與t的關系，得到函數(shù)關于t的二次函數(shù)，然后求出函數(shù)的最值，以及x的值．
點評：本題考查換元法，三角函數(shù)的化簡求值，注意換元中元的范圍，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的應用，考查計算能力．