Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足=，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1=2a_n+1得出a_n+1+1=2（a_n+1）構(gòu)造等比數(shù)列{a_n+1}，求出其通項(xiàng)公式后即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）由（1）a_n+1=2 ⁿ，得出2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）=n²+2n①，當(dāng)n≥2時(shí)，2[b₁+2b₂+3b₃+…（n-1）b_n-1]=（n-1）²+2（n-1）②
兩式相減，得出，b_n=1+，當(dāng)n=1時(shí)也適合．
解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+1∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁=1，
所以數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以a_n+1=2•2^n-1=2 ⁿ，
a_n=2 ⁿ-1，
（2）∵=，
∴=
∴2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）-2n=n²，
即2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）=n²+2n①
當(dāng)n≥2時(shí)，2[b₁+2b₂+3b₃+…（n-1）b_n-1]=（n-1）²+2（n-1）②
①-②得，2nb _n=2n+1，b_n=1+，
當(dāng)n=1時(shí)也適合，所以b_n=1+，
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判定、數(shù)列通項(xiàng)公式求解．考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、計(jì)算能力．