Question

已知曲線C₁的方程是kx-y+4-2k=0（k∈R），曲線C₂的方程是

4-x2

+1-y=0，給出下列結(jié)論：
①曲線C₁：恒過(guò)定點(diǎn)（2，4）； 
②曲線C₂的圖形是一個(gè)圓；
③k∈(

3

4

，+∞)時(shí)，C₁與C₂只有一個(gè)公共點(diǎn)； 
④若k=0時(shí)，則C₁與C₂必?zé)o公共點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用直線的方程判斷．②將曲線C₂的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷．③利用直線與圓的位置關(guān)系判斷．④利用直線與圓的位置關(guān)系判斷．

解答：解：∵曲線C₁的方程是kx-y+4-2k=0，
∴k（x-2）+4-y=0，表示過(guò)定點(diǎn)A（2，4）的直線，∴①正確．
∵C₂的方程是

4-x2

+1-y=0，
∴

4-x2

=y-1，（y≥1），
∴平方得x²+（y-1）²=4，表示以（0，1）為圓心，半徑r=2的上半圓，∴②錯(cuò)誤．
③當(dāng)x=-2時(shí)，y=1，即B（-2，1），
此時(shí)過(guò)A，B直線的斜率k=

4-1

2-(-2)

=

3

4

，由圖象可知當(dāng)k∈(

3

4

，+∞)時(shí)，C₁與C₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴③正確．
④當(dāng)k=0時(shí)，曲線C₁的方程是y=4，
此時(shí)曲線C₂的最大值為3，
∴則C₁與C₂無(wú)公共點(diǎn)，∴④正確．
故正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系的判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．