(2009•天門模擬)已知命題:
①函數(shù)f(x)=
1
lgx
在(0,+∞)上是減函數(shù);
②已知
a
=(3,4),
b
=(0,-1),則
a
b
方向上的投影為-4;
③函數(shù)f(x)=2sinxcos|x|的最小正周期為π;
④函數(shù)f(x)的定義域為R,則f(x)是奇函數(shù)的充要條件是f(0)=0;
⑤在平面上,到定點(diǎn)(2,1)的距離與到定直線3x+4y-10的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.
其中,正確命題的序號是
②③
②③
.(寫出所有正確命題的序號).
分析:①利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.②利用向量投影的概念判斷.③利用三角函數(shù)的周期性判斷.
④利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)判斷.⑤利用拋物線的定義判斷.
解答:解:①當(dāng)x=1時,lgx=0,此時函數(shù)f(x)無意義,所以①錯誤.
②向量
a
b
方向上的投影為
a
?
b
|
b
|
=-4
,所以②正確.
③因為y=cos|x|=cosx,所以f(x)=2sinxcos|x|=2sinxcosx=sin2x,所以函數(shù)的周期T=
2
,所以③正確.
④若f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),所以當(dāng)x=0時,f(-0)=-f(0),所以f(0)=0.但若f(0)=0,則f(x)不一定是奇函數(shù),
比如f(x)=x2,滿足f(0)=0,但函數(shù)f(x)=x2,是偶函數(shù),所以④錯誤.
⑤因為點(diǎn)(2,1)在直線3x+4y-10=0上,所以所求的軌跡不是拋物線,所以⑤錯誤.
故答案為:②③.
點(diǎn)評:本題主要考查了各種命題的真假判斷,綜合性較強(qiáng).
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t+1
-
t
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t
-
t-1
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1
x
|>1的解集是
(-∞,0)∪(0,
1
2
(-∞,0)∪(0,
1
2

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AB
=(1,  2)
,
AC
=(4x,  3x)
,其中x>0,△ABC的面積為
5
4
,則實(shí)數(shù)x的值為
1
2
1
2

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