Question

（2009•天門模擬）已知命題：
①函數(shù)f（x）=

1

lgx

在（0，+∞）上是減函數(shù)；
②已知

a

=（3，4），

b

=（0，-1），則

a

在

b

方向上的投影為-4；
③函數(shù)f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期為π；
④函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則f（x）是奇函數(shù)的充要條件是f（0）=0；
⑤在平面上，到定點(diǎn)（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．
其中，正確命題的序號(hào)是

②③

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：①利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．②利用向量投影的概念判斷．③利用三角函數(shù)的周期性判斷．
④利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)判斷．⑤利用拋物線的定義判斷．

解答：解：①當(dāng)x=1時(shí)，lgx=0，此時(shí)函數(shù)f（x）無意義，所以①錯(cuò)誤．
②向量

a

在

b

方向上的投影為

a ? b

| b |

=-4，所以②正確．
③因?yàn)閥=cos|x|=cosx，所以f（x）=2sinxcos|x|=2sinxcosx=sin2x，所以函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，所以③正確．
④若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），所以當(dāng)x=0時(shí)，f（-0）=-f（0），所以f（0）=0．但若f（0）=0，則f（x）不一定是奇函數(shù)，
比如f（x）=x²，滿足f（0）=0，但函數(shù)f（x）=x²，是偶函數(shù)，所以④錯(cuò)誤．
⑤因?yàn)辄c(diǎn)（2，1）在直線3x+4y-10=0上，所以所求的軌跡不是拋物線，所以⑤錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了各種命題的真假判斷，綜合性較強(qiáng)．