Question

已知函數(shù)，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）由分式成立的條件可得，2^x-1≠0，
∴x≠0，定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}
（2）函數(shù)為奇函數(shù)可得f（-x）+f（x）=0對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立
∴
∴=-1
∴
（3）設(shè)任意的x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，

∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
分析：（1）由分式成立的條件可得，2^x-1≠0，從而可求函數(shù)的定義域
（2）由函數(shù)為奇函數(shù)可得f（-x）+f（x）=0對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立，代入整理可求a
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，通過做差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)分式型函數(shù)的定義域的求解，奇函數(shù)定義的應(yīng)用，及利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)．