Question

設曲線C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）導函數．
（I）求函數f（x）的極值；
（II）數列{a_n}滿足a₁=e，an+1=2f′(

1

an

)+3e．求證：數列{a_n}中不存在成等差數列的三項．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行求導，討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值即可．
（2）根據遞推關系求出數列通項a_n，假設數列{a_n}中存在成等差數列的三項a_r，a_s，a_t，尋求矛盾即可．

解答：解：（I）f′(x)=

1

x

-e=

1-ex

x

=0，得x=

1

e

當x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

∴當x=

1

e

時，f（x）取得極大值f(

1

e

)=-2，沒有極小值；

（II）∵an+1=2f′(

1

an

)+3e，
∴a_n+1=2a_n+e

an+1+e

an+e

=2，
∴a_n=e（2ⁿ-1）
假設數列{a_n}中存在成等差數列的三項a_r，a_s，a_t（r＜s＜t），
則2a_s=a_r+a_t，2e（2^s-1）=e（2^r-1）+e（2^t-1），2^s+1=2^r+2^t，
∴2^s-r+1=1+2^t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1為偶數，1+2^t-r為奇數，假設不成立
因此，數列{a_n}中不存在成等差數列的三項．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及等差數列的性質，屬于中檔題．