Question

已知(

3	x

-

1

x

)n的展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：7．
（1）求n的值；
（2）求展開式中常數(shù)項(xiàng)為第幾項(xiàng)；
（3）求有理項(xiàng)共有多少項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C_n^k，由題意可得關(guān)于n的方程，求出n．
（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得展開式的常數(shù)項(xiàng)．
（3）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為有理數(shù)，求出r的值，求出有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

解答：解：（1）Tr+1=

C

r n

(

3	x

)n-r(-

1

x

)r=

C

r n

(-1)rx

2n-5r

6

（2分）
∵第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：7．
∴

C 1 n

C 2 n

=

1

7

，解得n=15（5分）
（2）由（1）得Tr+1=

C

r 15

(-1)rx

30-5r

6

令

30-5r

6

=0則r=6
∴所以常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)（7分）
（3）由條件得

30-5r

6

∈N且0≤r≤15，得r=0，6，12
∴有理項(xiàng)的共有3項(xiàng)（10分）

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問題，考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，難度較大，易出錯(cuò)．要正確區(qū)分這兩個(gè)概念：二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)．