Question

【題目】已知常數(shù)，函數(shù)．

（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1)求導(dǎo)后討論導(dǎo)函數(shù)的取值情況繼而得到原函數(shù)的單調(diào)性

(2)結(jié)合(1)中可得兩個(gè)極值點(diǎn)情況，代入化簡(jiǎn)的表達(dá)式，換元令后再次對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)來(lái)解答參量的取值范圍

解：（1），

①當(dāng)，即時(shí)，，在上遞增；

②當(dāng)，即時(shí)，由，得，

解得（舍去），，且，，

所以在上遞減，在上遞增.

（2）由（1）知，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則；

且，分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)。

由的定義域知，且，解得；

又

將，代入，

得

令，得，由且知，且，

記，

①當(dāng)時(shí)，，，故在上遞減，

所以，即當(dāng)，即時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，，，故在上遞減，

，即當(dāng)，即時(shí)，.

綜上所述，滿足條件的的取值范圍是.