Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-aln（x+1）-1在點P（0，f（0））處的切線垂直于y軸．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當m＞n＞0時，求證；e^m-n-1＞ln（m+1）-ln（n+1）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得k=f′（0）=e⁰-a=0，解得a=1，再由導數(shù)，解不等式即可得到單調(diào)區(qū)間；
（2）當m＞n＞0時，由f（x）在（0，+∞）遞增，可得f（m-n）＞f（0）=0，即為e^m-n-1＞ln（1+m-n），判斷l(xiāng)n（1+m-n）-ln（1+m）+ln（1+n）的符號，運用對數(shù)的運算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-aln（x+1）-1的導數(shù)f′（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$，
由題意可得在點P（0，f（0））處的切線斜率為k=f′（0）=e⁰-a=0，
解得a=1，
即有f（x）=e^x-ln（x+1）-1，f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，
由f′（x）＞0，可得x＞0，由f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）；
（2）證明：當m＞n＞0時，由f（x）在（0，+∞）遞增，可得
f（m-n）＞f（0）=0，
即為e^m-n-1＞ln（1+m-n），
由ln（1+m-n）-ln（1+m）+ln（1+n）=ln$\frac{（1+m-n）（1+n）}{1+m}$
=ln（1+$\frac{n（m-n）}{1+m}$）＞ln1=0，
即有l(wèi)n（1+m-n）＞ln（1+m）-ln（1+n），
則有當m＞n＞0時，e^m-n-1＞ln（m+1）-ln（n+1）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，同時考查不等式的證明，運用函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)的運算性質(zhì)是解題的關鍵．