Question

設函數f(x)=a(x+

1

x

)+2lnx，g(x)=x2．
（I）若a＞0且a≠2，直線l與函數f（x）和函數g（x）的圖象相切于一點，求切線l的方程．
（II）若f（x）在[2，4]內為單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關于切點的橫坐標x的方程，求出切點的坐標，根據得出的切點坐標，同時由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，根據切點坐標和切線過原點寫出切線方程即可．
（Ⅱ）通過解f′（x），求其單調區(qū)間，轉化為恒成立問題求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=a(1-

1

x2

)+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，∴g'（x）=2x
因為直線l與函f（x），g（x）的圖象相切于同一點

ax2+2x-a

x2

=2x（4分）
解得x=1，x=

a

2

（a≠2），（x=-1舍去）f'（1）=2，f（1）=2a；
f′(

a

2

)=a，f(

a

2

)=

a2

4

g'（1）=2，g（1）=1；g′(

a

2

)=a，g(

a

2

)=

a2

4

①當x=1時，則l的方程為：y=2x-1
②當x=

a

2

時，又因為點（

a

2

，

a2

4

)也在f（x）
有a(

a

2

+

2

a

)+2ln

a

2

=

a2

4

即ln

a

2

+

a2

8

+1=0
令h(x)=ln

a

2

+

a2

8

+1，h(

2

e2

)•h(2e2)＜0
易得方程在a＞0且a≠2一定有解
所以l的方程為y=ax-

a2

4

(a＞0，a≠2)
綜上所述直線l的方程為y=2x-1或y=ax-

a2

4

(a＞0，a≠2)（6分）
（Ⅱ）∵f′(x)=a(1-

1

x2

)+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

要使f（x）在[2，4]為單調增函數，在[2，4]恒成立，
即

ax2+2x-a

x2

≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4）（8分）
設u(x)=

1

x

-x（2≤x≤4），因為u′(x)=-

1

x2

-1（x＞0）所以u（x）在（0，+∞）上單調遞減．
∴f′（x）-

8

15

≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

≥-

4

3

所以當a≥-

8

15

時在[2，4]為單調增函數；（10分）
同理要為單調減函數，在[2，4]恒成立，
易得a≤-

4

3

，綜上，f（x）在[2，4]為單調函數，則a的取值范圍為a≤-

4

3

或a≥-

8

15

（12分）

點評：對于已知函數單調性，求參數范圍問題的常見解法；設函數f（x）在（a，b）上可導，若f（x）在（a，b）上是增函數，則可得f′（x）≥0，從而建立了關于待求參數的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數，，則可得f′（x）≤0．