Question

某企業(yè)準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號(hào)的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．該種產(chǎn)品的市場(chǎng)前景無(wú)法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式如下表所示：

市場(chǎng)情形	概率	價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式
好	0.4	p=164-3q
中	0.4	p=101-3q
差	0.2	p=70-4q

設(shè)L₁，L₂，L₃分別表示市場(chǎng)情形好、中差時(shí)的利潤(rùn)，隨機(jī)變量ξ_k，表示當(dāng)產(chǎn)量為q，而市場(chǎng)前景無(wú)法確定的利潤(rùn)．
（I）分別求利潤(rùn)L₁，L₂，L₃與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式；
（II）當(dāng)產(chǎn)量q確定時(shí)，求期望Eξ_k，試問(wèn)產(chǎn)量q取何值時(shí)，Eξ_k取得最大值．

Answer 1

解：（I）根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)和題意寫(xiě)出

=．
同理可得．
．
（II）由期望定義可知Eξ_q=0.4L₁+0.4L₂+0.2L₃
=
=．
可知Eξ_q是產(chǎn)量q的函數(shù)，設(shè)，
得f'（q）=-q²+100．令f'（q）=0解得q=10，q=-10（舍去）．
由題意及問(wèn)題的實(shí)際意義可知，當(dāng)q=10時(shí)，f（q）取得最大值，即Eξ_q最大時(shí)的產(chǎn)量為10．
分析：（I）根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)和題意可以寫(xiě)出利潤(rùn)L₁，L₂，L₃與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，整理合并同類(lèi)項(xiàng)得到關(guān)于q的三次函數(shù)，寫(xiě)出自變量q的取值范圍．
（II）寫(xiě)出期望的表示式，根據(jù)多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，寫(xiě)出最簡(jiǎn)形式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，解出q的值，確定這是函數(shù)的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，利用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率和函數(shù)知識(shí)建模解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目．