Question

已知圓C方程為：x²+y²=4．
（Ⅰ）直線l過點(diǎn)P（1，2），且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程；
（Ⅱ）過圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為N，若向量，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

【答案】分析：（I）分類討論：①當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)；②若直線l不垂直于x軸．對于②，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
（II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）（y≠0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出M的坐標(biāo)，再利用M點(diǎn)在圓上其坐標(biāo)適合方程即可求得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，最后利用方程的形式進(jìn)行判斷是什么曲線即可．
解答：解（Ⅰ）①當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，
則此時(shí)直線方程為x=1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，
其距離為滿足題意（1分）
②若直線l不垂直于x軸，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0
設(shè)圓心到此直線的距離為d，則，得d=1（3分）
∴，，
故所求直線方程為3x-4y+5=0
綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1（7分）

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）（y≠0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
則N點(diǎn)坐標(biāo)是（0，y）（9分）
∵，
∴（x，y）=（x，2y）即x=x，（11分）
又∵x²+y²=4，∴
∴Q點(diǎn)的軌跡方程是，（13分）
軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，除去短軸端點(diǎn)．（14分）
點(diǎn)評：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應(yīng)用、軌跡方程的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．