Question

某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的一年收益與投資額成正比，其關(guān)系如圖（1）；投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的一年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）．（注：收益與投資額單位：萬元）

（Ⅰ）分別寫出兩種產(chǎn)品的一年收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使一年的投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，結(jié)合函數(shù)圖象，我們可以利用待定系數(shù)法來求兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，我們設(shè)設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．這時可以構(gòu)造出一個關(guān)于收益y的函數(shù)，然后利用求函數(shù)最大值的方法進行求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=k₁x，g（x）=k₂

x

，
∴f（1）=

1

8

=k₁，g（1）=k₂=

1

2

，
∴f（x）=

1

8

x（x≥0），g（x）=

1

2

x

（x≥0）
（Ⅱ）設(shè)：投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．
y=f（x）+g（20-x）=

x

8

+

1

2

20-x

（0≤x≤20）
令t=

20-x

，則y=

20-t2

8

+

1

2

t=-

1

8

（t-2）²+3
所以當t=2，即x=16萬元時，收益最大，y_max=3萬元．

點評：函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．