Question

有以下4個命題：
①A={x∈R|x²+1=0}，B={x∈R|4＜x＜3}，則A=B．
②已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+∞）上增函數(shù)，則在（-∞，0）上也是增函數(shù)．；
③函數(shù)f（x）=x²-（k²+3k+9）x+2（k是實(shí)常數(shù)）在區(qū)間（-∞，-2010）是減函數(shù)．
④設(shè)f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，則g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2．
其中正確的命題序號是

③④

．

Answer 1

分析：①A={x∈R|x²+1=0}=∅，B={x∈R|4＜x＜3}，則A≠B；
②已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+∞）上增函數(shù)，則在（-∞，0）上是減函數(shù)；
③判斷函數(shù)f（x）=x²-（k²+3k+9）x+2（k是實(shí)常數(shù)）的開口及對稱軸；
④分別計算出g（2x）與[f（x）]²+[g（x）]²．

解答：解：①由于A={x∈R|x²+1=0}=∅，B={x∈R|4＜x＜3}，則A≠B，故①錯；
②由于函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+∞）上增函數(shù)，則在（-∞，0）上是減函數(shù)．故②錯；
③由于函數(shù)f（x）=x²-（k²+3k+9）x+2（k是實(shí)常數(shù)）開口向上，
且對稱軸為x=-

-(k2+3k+9)

2

=

k2+3k+9

2

x=

k2+3k+9

2

=

(k+ 3 2 )2+ 27 4

2

≥

27

8

＞-2010
故函數(shù)f（x）=x²-（k²+3k+9）x+2在區(qū)間（-∞，-2010）是減函數(shù)，即③正確；
④由于f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，則g(2x)=

e2x+e-2x

2

，
[f(x)]2+[g(x)]2=

e2x-2+e-2x

4

+

e2x+2+e-2x

4

=

e2x+e-2x

2

=g(2x)，故④正確．
故答案為 ③④

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．