Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，AE=AF=4，現(xiàn)將△AEF沿線段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2

6

．
（1）求五棱錐A′-BCDFE的體積；
（2）求平面A′EF與平面A′BC的夾角．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間角

分析：（1）連接AC，設(shè)AC∩EF=H，由已知條件推導(dǎo)出平面A′HC⊥平面ABCD，過點A′作A′O垂直HC且與HC相交于點O，則A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱錐A′-BCDFE的體積．
（2）由（1）得A′O⊥平面ABCD，且CO=3

2

，即點O是AC，BD的交點，以點O為原點，OA，OB，OA′所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面A′EF與平面A′BC夾角．

解答： 解：（1）連接AC，設(shè)AC∩EF=H，
由ABCD是正方形，AE=AF=4，
得H是EF的中點，
且EF⊥AH，EF⊥CH，
從而有A′H⊥EF，CH⊥EF，
∴EF⊥平面A′HC，
從而平面A′HC⊥平面ABCD，…（2分）
過點A′作A′O垂直HC且與HC相交于點O，
則A′O⊥平面ABCD．…（4分）
∵正方形ABCD的邊長為6，AE=AF=4，
得到：A′H=2

2

，CH=4

2

，
∴cos∠A′HC=

8+32-24

2×2 2 ×4 2

=

1

2

，
∴HO=A′H•cos∠A′HC=

2

，A′O=

6

，
∴五棱錐A′-BCDFE的體積V=

1

3

×(62-

1

2

×4×4)×

6

=

28 6

3

．…（6分）
（2）由（1）得A′O⊥平面ABCD，且CO=3

2

，即點O是AC，BD的交點，
如圖以點O為原點，OA，OB，OA′所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意知A′(0，0，

6

)，B（0，3

2

，0），C（-3

2

，0，0），D（0，-3

2

，0），
E（

2

，2

2

，0），F(xiàn)（

2

，-2

2

，0），A′(0，0，

6

)，…（7分）
∴

FE

=(0，4

2

，0)，

A′E

=(

2

，2

2

，-

6

)，

CB

=(3

2

，3

2

，0)，

A′B

=(0，3

2

，-

6

)，
設(shè)平面A′EF的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • FE =4 2 y=0 n • A′E = 2 x+2 2 y- 6 z=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，0，1)，…（9分）
設(shè)平面A′BC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • CB =3 2 x1+3 2 y1=0 m • A′B =3 2 y1- 6 z1=0

，
令y₁=1，得

m

=（-1，1，

3

），…（11分）
∴cos＜

m

，

n

＞=0，即平面A′EF與平面A′BC夾角是

π

2

．…（12分）

點評：本題考查五棱錐的體積的求法，考查平面與平面的夾角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．