Question

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在， 上單調(diào)遞增． （Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時， ，求導因式分解可得單調(diào)區(qū)間;

（2）利用導數(shù)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對單調(diào)性的討論，再利用單調(diào)性求解參數(shù)范圍.

試題解析：（Ⅰ）當時，

則，

此時：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在， 上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）依題意有：

，

令，

得： ，

①當即時，

函數(shù)在恒成立，

則在單調(diào)遞增，

于是，

解得： ；

②當即時，

函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

于是，不合題意，

此時： ；

綜上所述：實數(shù)的取值范圍是

點晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，不等式恒成立問題.要求單調(diào)性，求導比較導方程的根的大小，解不等式可得單調(diào)區(qū)間，要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào)，只需要證明其導函數(shù)大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，求其值最值即可.