Question

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在， 上單調(diào)遞增． （Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，求導(dǎo)因式分解可得單調(diào)區(qū)間;

（2）利用導(dǎo)數(shù)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對(duì)單調(diào)性的討論，再利用單調(diào)性求解參數(shù)范圍.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

則，

此時(shí)：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在， 上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）依題意有：

，

令，

得： ，

①當(dāng)即時(shí)，

函數(shù)在恒成立，

則在單調(diào)遞增，

于是，

解得： ；

②當(dāng)即時(shí)，

函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

于是，不合題意，

此時(shí)： ；

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是

點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，不等式恒成立問題.要求單調(diào)性，求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小，解不等式可得單調(diào)區(qū)間，要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào)，只需要證明其導(dǎo)函數(shù)大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個(gè)不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，求其值最值即可.