Question

已知：長(zhǎng)方體，，為對(duì)角線的中點(diǎn)，過的直線與長(zhǎng)方體表面交于兩點(diǎn)，為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是　　　     　．

Answer 1

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解析試題分析：如圖所示．

∵O為對(duì)角線AC₁的中點(diǎn)，∴O（1，2，2）．以下分類討論：根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)稱性和數(shù)量積的性質(zhì)：取P點(diǎn)時(shí)只要取頂點(diǎn)和每個(gè)表面的中心即可．
①當(dāng)點(diǎn)MN在上下兩個(gè)面時(shí)．取P（0，0，0），設(shè)N（x，y，0），（0≤x≤2，0≤y≤4）．則M（2-x，4-y，4）．∴=x（2-x）+y（4-y）=-[（x-1）²+（y-2）²]+5，此時(shí)可得：的取值范圍是[0，5]．
取點(diǎn)P（1，0，2），=（1-x，4-y，-2），=（x-1，y，-2）
則=-（x-1）²+y（4-y）-4=-[（x-1）²+（y-2）²]，
由于0≤x≤2，0≤y≤4，∴-5≤≤0．
此時(shí)可得：的取值范圍是[-5，0]．
綜上可得：的取值范圍是[-5，5]．
②當(dāng)點(diǎn)MN在左右兩個(gè)面時(shí)，的取值范圍是[-5，5]．
③當(dāng)點(diǎn)MN分別上或下兩個(gè)面、左或右時(shí)，的取值范圍是[-8，8]．
綜上可得：的取值范圍是[-8，8]．
故應(yīng)填入： [-8，8]．
考點(diǎn)：１．長(zhǎng)方體的對(duì)稱性；２．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)．