Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，點(diǎn)P（2，1）是橢圓上一定點(diǎn)，若斜率為

1

2

的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（ I）求橢圓方程；
（ II）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（ I）由e=

c

a

=

3

2

，知c=

3

2

a，b=

1

2

a，由此能求出橢圓方程．
（ II）設(shè)直線AB的方程為：y=

1

2

x+m，與橢圓聯(lián)列方程組得，

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理能求出S_△PAB的最大值．

解答：解：（ I）∵e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

2

a，b=

1

2

a，
又P（2，1）在橢圓上，代入橢圓方程，
得：

4

a2

+

1

b2

=1，
∴a²=8，b²=2，
橢圓方程為：

x2

8

+

y2

2

=1…（6分）
（ II）設(shè)直線AB的方程為：y=

1

2

x+m，
與橢圓聯(lián)列方程組得，

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，
代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，…（8分）
∵△=16m²-8（4m²-8）＞0，
解得，-2＜m＜2
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=-2m，
x₁x₂=2m²-4|AB|=

1+ 1 4

•

4m2-4(2m2-4)

=

5

2

•

16-4m2

=

5

•

4-m2

P到直線AB的距離：d=

|2m|

5

，…（12分）
S△PAB=

1

2

•

5

•

4-m2

•

|2m|

5

=

(4-m2)m2

≤2
當(dāng)4-m²=m²，
即m=±

2

時(shí)，
S_△PAB有最大值2     …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．