Question

設(shè)f（x）=

1

3

x3+ax2+5x+6在區(qū)間[1，3]上單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、[-

  5

  ，+∞)
• B、（-∞，-3]
• C、[-3，

  5

  ]
• D、（-∞，-3]∪[-

  5

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)函數(shù)，f（x）在[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立，利用分離參數(shù)法，借助于導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f′（x）=x²+2ax+5
又f（x）在[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立．
令f′（x）=0，即x²+2ax+5=0，則a=

-x2-5

2x

設(shè)g（x）=

-x2-5

2x

，則g′（x）=

5-x2

2x2

，
令g′（x）=0得：x=

5

或x=-

5

（舍去）
∴當(dāng)1≤x≤

5

時(shí)，g′（x）≥0，當(dāng)

5

≤x≤3時(shí)，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，

5

）上遞增，在（

5

，3）上遞減，
∵g（1）=-3，g（3）=-

7

3

，g（

5

）=-

5

∴g（x）的最大值為g（

5

）=-

5

，最小值為g（1）=-3
∴當(dāng)f′（x）≤0時(shí)，a≤g（x）_min=g（1）=-3
  當(dāng)f′（x）≥0時(shí)，a≥g（x）_max=g（

5

）=-

5

∴a≤-3或a≥-

5

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，分離參數(shù)，求函數(shù)的最值是關(guān)鍵．