Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，滿足f（1）=﹣ ， 且3a＞2c＞2b．
（1）求證：a＞0時(shí)，的取值范圍；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）設(shè)x1 ， x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，求|x1﹣x2|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
從而a＞0，b＜0，
又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b
∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2，
即﹣3＜＜﹣．
（2）根據(jù)題意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．
下面對(duì)c的正負(fù)情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)c＞0時(shí)，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)c≤0時(shí)，∵a＞0，
∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
綜合①②得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）．∵x1 ， x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)
∴x1 ， x2是方程ax2+bx+c=0的兩根．
故x1+x2=﹣，x1x2===-
從而|x1﹣x2|===．
∵﹣3＜＜﹣
∴|x1﹣x2|．
【解析】（1）根據(jù)f（1）=0，可得a，b，c的關(guān)系，再根據(jù)3a＞2c＞2b，將其中的c代換成a與b表示，即可求得的取值范圍；
（2）求出f（2）的值，再根據(jù)已知條件，分別對(duì)c的正負(fù)情況進(jìn)行討論即可；
（3）根據(jù)韋達(dá)定理，將|x1﹣x2|轉(zhuǎn)化成用兩個(gè)根表示，然后轉(zhuǎn)化成用表示，運(yùn)用（1）的結(jié)論，即可求得|x1﹣x2|的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．