Question

設函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且對任意的正實數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立。已知f（2）=1，且x＞1時，f（x）＞0，
（1）求的值；
（2）判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給出你的證明；
（3）解不等式f（x²）＞f（8x-6）-1。

Answer 1

解：（1）令x=y=1，則可得f（1）=0；
再令x=2，y=，得f（1）=f（2）+f（），
故f（）=-1；
（2）設0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）+f（）=f（x₂），
即f（x₂）-f（x₁）=f（），
∵＞1，
故f（）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)。
（3）由f（x²）＞f（8x-6）-1，
得f（x²）＞f（8x-6）+f（）=f[（8x-6）]，
故得x²＞4x-3且8x-6＞0，
解得解集為{x|＜x＜1或x＞3}。